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相位不同但频率相同的正弦波,叠加后会不会产生其他频率的波形呢?

不会得到其他频率的波,这一点可以用数学简单的证明。

首先是直接用代数方法证明,对于表达式:Sin[\[Omega] t \[CurlyPhi]1] Sin[\[Omega] t \[CurlyPhi]2]

可以化为:2 cos(phi_3) * sin(phi_1/2 phi_2/2 t omega)

上面的式子中,前面的cos部分,是常数,而后面的sin部分则仍然是频率为omega的正弦波。所以说,频率没有变化。

上面的证明看起来还是太抽象,我们来考虑一个更形象的方法。cos(x)可以看作一个与平面夹角为x的向量在横轴上的投影:

而在t增加的过程中,即随着时间变化,第一个箭头以omega的角速度绕着原点逆时针旋转;与此同时,如果我们要加上另一个正弦函数,就可以依葫芦画瓢,接在第一个向量后面,加上另一个向量。这个向量也以某个速度旋转。可以容易的理解,如果两个的角速度相同,那么它们的夹角就不会变化,看起来「就像是连在一起,合为一体了」。

这个时候,最后总的投影就是叠加后的正弦波,而它的角速度恰好就是原先两个波的角速度,没有变化。

这样的结果也是非常合理的,试想如果频率会变化的话,就相当于两个相同的声音合成在一起,频率 / 音高也会变化。这就会导致人在不同距离听声音,听到的音高有差别。这显然与事实相违背。另一个就是光,如果频率会在合成时发生变化,那光的颜色也会不稳定,会因为光强的不同而变色,这也与我们平日的观测不同。

这个问题从数学角度完全可以推导,证明出一个结果,下面为大家推导证明:

sinx siny=2sin(x y)/2×cos(x-y)/2

这个公式叫做三角变换中的和差化积公式,由此我们可以进行推到,现在假设有两个正弦波,他们的频率相同,初始相位不同,即

F(x)=sin(ωx φ1)

Z(x)=sin(ωx φ2)

这个两个函数叠加会产生什么效果呢?由和差化积公式可以得到下面结论,两个函数中ω是相等的,因为题目中函数频率相同,相位不同即初始相位不同,φ1与φ2不等。

F(x) Z(x)=2sin〔ωx (φ1 φ2)/2〕cos(φ1-φ2)/2

其中我们知道,cos(φ1-φ2)/2这个代表一个常数我们假设它为A,所以叠加之后的函数为

F(x) Z(x)=2Asin〔ωx (φ1 φ2)/2〕

从这个函数中发现,ω这个量没有改变,那也就是证明了叠加之后函数频率并没有改变,只是初始相位变成了(φ1 φ2)/2,结论显而易见了。

2018年3月16日,来自海岛的果果解答。

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